Родился 3 июня 1972 г. в Минске.

По утверждению журнала Forbes, учился на мехмате МГУ им. М. В. Ломоносова (куда поступил в 1989 году и откуда отчислился на втором курсе). В 2000 г. закончил Московский государственный открытый педагогический университет им. М. А. Шолохова (ныне — Московский государственный гуманитарный университет им. М. А. Шолохова).

С 1993 года занимал руководящие посты в ряде компаний топливно-энергетического комплекса.

В 1998 году Абызов был назначен заместителем председателя совета директоров ОАО «Новосибирскэнерго». В том же году Абызов стал членом правления и начальником департамента инвестиционной политики и бизнес-проектов РАО «ЕЭС России». С 1999 года Абызов — заместитель председателя правления РАО «ЕЭС России». С 2004 года в связи с изменением организационной структуры РАО «ЕЭС России» бизнесмен был назначен членом Правления РАО и управляющим директором бизнес-единицы № 1.

С июня 2003 года Абызов является председателем совета директоров ОАО «Российские коммунальные системы». С 2005 по 2007 годы был генеральным директором ЗАО «УК „Кузбассразрезуголь“».

С 2006 года по 16 января 2012 года Абызов М. А. занимал должность председателя совета директоров бизнес-группы RU-COM, а с июля 2007 года по 16 января 2012 года — председатель совета директоров ОАО «Группа Е4». С августа 2007 по январь 2011 года Абызов также был председателем совета директоров ОАО «Мостотрест». .

Указом президента Российской Федерации от 18 января 2012 года (Указ № 81) назначен советником президента Российской Федерации. 21 мая 2012 года вошёл в состав нового правительства РФ в должности министра, ответственного за организацию работы Правительственной комиссии по координации деятельности «Открытого правительства». В мае 2018 года покинул пост министра в связи с упразднением должности.

26 марта 2019 года арестован по обвинению в экономических преступлениях.